Question

一道数学题，求数学高手解答，万分感谢!!

若a,b.c均为单位向量,且向量a.向量b=0,(向量a-向量c).(向量b-向量c)<=0,则a+b-c的膜的最大值为（ 答案是1）
我明明算出来是根号2，这是为什么呢？
我的解题如下：设向量a(0,1),向量b(1,0),向量c(x,y）
所以带入得（-x,1-y,1-x,-y)<=0
(x-1/2)的平方+（y-1/2）的平方<=1/2
又a+b-c的膜=（1-x,1-y)=根号下（1-x)平方+（1-y)平方
表示（1,1）到（x,y)的距离
不就是（1,1）到圆心（1/2,1/2)的距离再加上圆半径吗

Answer 1

这个方法可以,但中间少用了一个条件:|向量c|=1(a,b.c均为单位向量)
那么在你的倒数第二步里:|a+b-c|=根号下(1-x)^2+(1-y)^2表示（1,1）到（x,y)的距离,这里的(x,y)既满足(x-1/2)^2+(y-1/2)^2<=1/2,也要满足x^2+y^2=1.
所以解得:最大值为(x,y)取圆(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2与圆x^2+y^2=1的交点处取到,得为1

Answer 2

很明显那个答案是错的。
取c为原点是符合题意的，此时a+b的模显然为√2>1。

不过你的做法值得商榷。题中只说a，b是单位垂直向量，你就把它们设成(0,1)和(1,0)这个是否合适呢？虽然这样做结果是对的。

我的做法：
(a-c)(b-c)=ab-bc-ac+|c|²≤0
由a,b垂直得ab=0代入，则：-bc-ac+|c|²≤0
|c|²≤(a+b)c≤|a+b||c|，可得：|c|≤|a+b|，由于a、b是垂直的单位向量，则|a+b|=√2
因此，|c|≤√2
将原点代入可验证，√2是可以取到的。

追问

可是网上的答案是1，而且作业中老师批的答案也是1，是不是我们错了

追答

你在和你们老师讨论一下吧，我觉得我们没做错。

追问

肯定是错的，我查了一下这是到高考题，答案是1，高考题答案总不会错吧，我自己在研究一下吧

追答

我看错题了
|a+b-c|²=(a+b-c)(a+b-c)=|a|²+|b|²+|c|²+2ab-2ac-2bc=3-2ac-2bc
=3-2(ac+bc)≤3-2|c|²=1

这样就对了。

Answer 3

你的解答本身就不严密，单位向量就是长度为1的向量，不见得是（1，0），（0，1）。设成（cos t,sin t),(-sin t,cos t)倒可以，他们既是单位向量，又相互垂直，还具有一般性。你试试看。

Answer 4

没考虑c也是单位向量。x^2+y^2=1
所以导致计算错误.

Answer 5

你会不会算错了。点（1，1）刚好在圆上，所以最大距离不就是圆的直径1吗?

追问

应该不会算错啊！我算出来圆的直径是根号2！！麻烦你算一下麻

追答

哦，我懂了，你算漏了条件“c为单位向量”。所以x平方+y平方=1，则-x+x平方-y+y平方=-x-y+1《0，所以x+y》1，做出这条不等式线的区域即可知道，点（1，1）到点（1,0）或（0,1）为最长。

追问

出这条不等式线的区域即可知道，点（1，1）到点（1,0）或（0,1）为最长。
这部怎么做啊，我做不出来，求具体解释

追答

你只需画出y=1-x的直线，则y≥1-x为直线上面的那部分。

追问

对啊，画出来了，可有什么定理证明一定到点（1,0）或（0,1）为最长呢，虽然图像上看起来是这样

追答

好吧，因为（1，1），（1,0）或（0,1），（1/2,1/2)三点构成的三角形的面积S=1/2*r平方*sinα（此角为两半径的夹角，β为另两半径的夹角）易知这两三角形面积相等（等底同高），又r确定，sinα在（0，π）为增，而（π，2π）为减。
α+β=π，若两角不相等，则一个为锐角一个为钝角。易知当两角随直径的摆动到π/2时，两个面积都增至最大，此时两条弦均为最大，而这时随直径摆动，则弦一个增一个减，增的弦仍为最大。
所以在直径上，不是左边三角形上的弦最大就是右边三角形的，而不是不能构成直径的半径所形成的三角形上的弦。
靠理解

追问

好烦的推论，如果我用观察图形的方法这种方法能准确吗，准确率高吗，会不会判断错误

追答

图像法：直观形象，容易理解，许多选择填空都得这样。要是你这个是解答题，画起图来就不够简便了。这种很明显的不至于判断错误。。。反正重在多解。

追问

解答题，不是本来就要画图，直接得出结论，为什么会不简便