Question

已知双曲线X^2-Y^2 /2=1,过点p(1,1)能否作一条直线L,与双曲线交于A,B两点,且点P为线段AB的中点?

Answer 1

解：设直线L的方程为：
y-1=k(x-1)
即：y=kx+1-k将其带入双曲线的的方程得：
X^2-(k^2x^2+1+k^2+2kx-2k^2x-2k)/2=1
整理得：
X^2(2-k^2)+x(2k^2-2k)-k^2+2k-3=0
设x1，x2 为该方程的根，若要使得点P（1,1）是线段AB的中点，则必有：
X1+x2=2成立。
现在来验证这个结果是不是成立：
假设X1+x2=2成立：
根据韦达定理可得：
X1+x2=(2k^2-2k)/（k^2-2）=2
即：k=2
当k等于2时，方程即：
2X^2-4x+3=0
显然判别式=16-4*2*3=-8<0
即方程无解，说明在k=2的前提下，直线与双曲线无交点。
由此可见假设错误。
则可说明不存在这样的直线满足题意！