Question

如图在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD平行BC∠ADC＝90度，平面PAD垂直底面

Q为AD中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝0.5AD＝1，CD＝根号3.设PM＝tMC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30度，试确定t的值

Answer 1

平面PAD⊥底面，而PAD是正三角形，Q为AD中点，所以PQ⊥AD，PQ⊥底面ABCD
连接CQ，做MN⊥CQ，做NE⊥QB，连ME
MN⊥CQ，PQ⊥CQ，所以MN∥PQ
MN/PQ=CM/CP=1/(1+t) MN=√3/(1+t)
而容易看到BCQD是矩形，NE⊥BQ，所以NE∥BC
NE/BC=QN/QC=t/(1+t) NE=t/(1+t)
二面角就是∠MEN
tan∠MEN=MN/NE=√3/(1+t)/t/(1+t)=√3/t
所以t=3