Question

已知函数f(x)=x+a/x,其中x>0,a>0，用单调性的定义证明：f（X）在（0，根号）为减函数.

Answer 1

你好
单调性定义是：
如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2（或x1>x2）时都有f(x1)<f(x2)那么就说f(x)在这个区间上是增(减)函数。

设x1>x2 且在定义域内
做差比较：f(x1)-f(x2)=x1-x2+a(1/x1 - 1/x2)=x1-x2+a[(x2-x1)/x1x2]
=(x1-x2)(1-a/x1x2)
∴在给定区间（0，√a）中 x1x2<a
∵1-a/x1x2<0 x1-x2>0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-a/x1x2)<0
∴单调递减

Answer 2

任取0<x1<x2<√a
则，
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+a(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)*(-1+a/(x1x2))
因为，x2-x1>0，而x1x2<√a√a=a，因此a/(x1x2)>1，那么-1+a/(x1x2)>0
那么，自然有：
f(x1)-f(x2)>0，即：f(x1)>f(x2)
因为x1<x2
故，f(x)在(0,√a)上为减函数

有不懂欢迎追问

Answer 3

证明：任意的x1、x2属于(0，/a)，且x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=x1-x2+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)[1-a/(x1x2)]
因为x1-x2<0，0<x1</a，0<x2</a，a/(x1x2)>1，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)。
所以f(x)在(0，/a)上递减，为减函数。

Answer 4

f'(x)＝(x^2-a)/x^2在(0,√a)小于零，则
f(x)在 (0,√a)单调递减，即f(x)为减函数。