Question

c是线段ab上的任意一点,分别以线段ac,bc为边向同侧作等边三角形ACD和BCE，连接ae，bd分别dc，ec于点m，n，

C是线段AB上的任意一点,分别以线段AC,BC为边向同侧作等边三角形ACD和BCE，连接AE，BD分别DC，EC于点M，N，连接MN，HC，求证①AE=BD,②CM=CN,③MN∥AB,④△CMN是等边三角形，⑤∠EHB=60°，⑥HC平分∠AHB。

Answer 1

根据题意可知
AC=DC BC=EC ∠ACD=60° ∠BCE=60°
(1)
∵∠ACD=60° ∠BCE=60°
∴∠DCE=60°
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠DCB=∠BCE+∠DCE=120°
∴∠ACE=∠BCE 另AC=DC BC=EC
∴△ACE≌△DCB
∴AE=BD
(2)
∵△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB 加上AC=DC ∠ACD=∠DCE=60°
∴△ACM≌△DCN
∴CM=CN
(3)
∵△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠DBC 加上BC=EC ∠DCE=∠BCE=60°
∴△MCE≌△NCB
∴CM=CN ∵∠DCE=60°
∴△CMN是正三角形 ∠CMN=60°
∵∠ACD=60°
∴∠CMN=∠ACD
∴MN∥AB
(4)∵AB∥MN
∴∠CMN=∠ACD=60°
∠CNM=∠BCE=60°
∠MCN=∠DCE=60°
∴△CMN是等边三角形
（5）∵△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠DBC
∵∠HNE=∠CNB
∴△BCN∽△EHN
∴∠EHB=∠BCE=60°
(6)△BCN∽△EHN
∴C、B、E、H四点共圆
∴∠AHC=∠CBE=60°
同理△DHM∽△AMC
∴A、C、H、D四点共圆
∴∠BHC=∠DAC=60°
∴∠AHC=∠BHC
∴HC平分∠AHB

Answer 2

证明:∵∠ACD=∠BCE=60°.
∴∠ACE=∠DCB;又AC=DC,EC=BC.
∴⊿ACE≌⊿DCB(SAS),AE=BD;------------------------------------------------------①
点C到AE和DB的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等).
∴HC平分∠AHB.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)------------------⑥
∵⊿ACE≌⊿DCB(已证).
∴∠CAM=∠CDN;又AC=DC,∠ACM=∠DCN=60°.
则:⊿ACM≌⊿DCN(ASA),CM=CN.----------------------------------------------------②
∴⊿MCN为等边三角形.(有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形)---------④
故∠CMN=60°=∠ACM,MN∥AB.------------------------------------------------------③
∵⊿ACE≌⊿DCB(已证).
∴∠CBN=∠HEN.
则∠EHB=∠HAB+∠CBN=∠HAB+∠HEN=∠ECB=60°.---------------------------⑤

Answer 3

①∵△ACD和△CBE是等边三角形∴AC=CD，CB=CE ，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°，边角边，故
∴ AE=BD
②∵∠MCE=∠NCB，CE=CB， ∠CEM=∠CBN，角边角故 △ MCE≌△NCB
∴ CM=CN
③ ∵∠MCN=60° ，CM=CN ∴△ MCN是正三角形 故 ∠CNM=60°=∠ECB
∴ MN∥AB
④∵ ∠MCN=60° ，CM=CN ∴△ MCN是正三角形
⑤ △ACE与△AHB 共用 ∠CAE ∵△ACE≌△DCB ∴∠AEC=∠ABH 两角相等 ，故 ，△AEC∽△ABH ∴∠ACE=∠AHB ∴∠EHB= ∠ECB=60°

Answer 4

根据题意可知
AC=DC BC=EC ∠ACD=60° ∠BCE=60°
(1)
∵∠ACD=60° ∠BCE=60°
∴∠DCE=60°
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠DCB=∠BCE+∠DCE=120°
∴∠ACE=∠BCE 另AC=DC BC=EC
∴△ACE≌△DCB
∴AE=BD

(2)
∵△ACE≌△DCB
∴∠CAE=∠CDB 加上AC=DC ∠ACD=∠DCE=60°
∴△ACM≌△DCN
∴CM=CN

（3）
∵CM=CN
∠DCE=60°
∴,△CMN是等边三角形
∴∠CMN=∠ACD
∴MN∥AB

（4）
∵CM=CN
∠DCE=60°
∴,△CMN是等边三角形

（5）
∵△ACE≌△DCB
∴∠BDC=∠EAC
∵∠DMH=∠AMC
∴△DMH相似△AMC
∴∠DHM=∠ACM
∵∠DHM=∠EHB
∴∠EHB=∠ACM=60°

（6）
作FC垂直于AE交AE于F，作GC垂直于DB交DB于G
∵△ACE≌△DCB
∴FC=GC
∴HC平分∠AHB