Question

函数y=（2x^2-x+2）/（x^2+x+1）的值域为？

Answer 1

解：方法一
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
∵y=2-3x/（x²+x+1）
∵y=2-3/（x+1/x+1）
此时分情况：
①x＞0时
∵x+1/x≥2√x×1/x=2
∴3/（x+1/x+1）≤3/（2+1）=1
∴-3/（x+1/x+1）≥-3/（2+1）=-1
∴y≥2-3/（2+1）=2-1=1
∵-3/（x+1/x+1）＜0
∴y=2-3/（x+1/x+1）＜2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）①x＞0时的值域为[1，2)

②x=0时
y=2/1=2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）②x=0时的值域为[2]

③x＜0时
y=2-3/（x+1/x+1）
y=2+3/[-x+（-1/x）-1]
∵-x+（-1/x）≥2√-x×（-1/x）=2
∴3/[-x+（-1/x）-1]≤3/（2-1）=3
∴y≤2+3/（2-1）=2+3=5
∵3/[-x+（-1/x）-1]＞0
∴y=2+3/[-x+（-1/x）-1]＞2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）③x＜0时的值域为(2，5]

综合①②③几种情况得：函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

方法二
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
y（x²+x+1）=（2x²-x+2）
yx²+yx+y=2x²-x+2
(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0
此时分情况考虑：
①2-y=0，y=2，x=0
②2-y≠0
要使方程有解，△=(y+1)^2-4(2-y)^2≥0
整理得：3y^2-18y+15≤0
函数值域为1≤y≤5（包含y=2）
即函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

Answer 2

判别式法，如下：
y=(2x²-x+2)/(x²+x+1) 显然定义域为R
yx²+yx+y=2x²-x+2
(y-2)x²+(y+1)x+y-2=0
（1）y=2时，3x-1=0，得：x=1/3，所以：y=2可取；
（2）y≠2时，因为显然存在x满足y=(2x²-x+2)/(x²+x+1)，
则把方程(y-2)x²+(y+1)x+y-2=0看做是关于x的一个二次方程，这显然是一个有解方程，
所以：△=(y+1)²-4(y-2)²≧0
(y+1+2y-4)(y+1-2y+4)≧0
(3y-3)(-y+5)≧0
(y-1)(y-5)≦0
1≦y≦5，且y≠2
综上，值域为y∈[1,5]

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 3

解：方法一
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
∵y=2-3x/（x²+x+1）
∵y=2-3/（x+1/x+1）
此时分情况：
①x＞0时
∵x+1/x≥2√x×1/x=2
∴3/（x+1/x+1）≤3/（2+1）=1
∴-3/（x+1/x+1）≥-3/（2+1）=-1
∴y≥2-3/（2+1）=2-1=1
∵-3/（x+1/x+1）＜0
∴y=2-3/（x+1/x+1）＜2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）①x＞0时的值域为[1，2)

②x=0时
y=2/1=2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）②x=0时的值域为[2]

③x＜0时
y=2-3/（x+1/x+1）
y=2+3/[-x+（-1/x）-1]
∵-x+（-1/x）≥2√-x×（-1/x）=2
∴3/[-x+（-1/x）-1]≤3/（2-1）=3
∴y≤2+3/（2-1）=2+3=5
∵3/[-x+（-1/x）-1]＞0
∴y=2+3/[-x+（-1/x）-1]＞2
此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）③x＜0时的值域为(2，5]

综合①②③几种情况得：函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

方法二
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
y（x²+x+1）=（2x²-x+2）
yx²+yx+y=2x²-x+2
(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0
此时分情况考虑：
①2-y=0，y=2，x=0
②2-y≠0
要使方程有解，△=(y+1)^2-4(2-y)^2≥0
整理得：3y^2-18y+15≤0
函数值域为1≤y≤5（包含y=2）
即函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

Answer 4

y=（2x^2-x+2）/（x^2+x+1）
=【2（x^2+x+1）-3x】/（x^2+x+1）
=2 - （3x）/（x^2+x+1）
=2 - 3/ （x+1+1/x）
因为x^2+x+1恒大于0，所以x∈R
x+1+1/x∈（-∞，-1】∪【3，+∞）
所以 3/ （x+1+1/x）∈【-3,0）∪（0,1】
所以y∈【1,2）∪（2,5】
当x=0时，y=2
综上所述，值域为【1,3】

Answer 5

x=0,y=2
x≠0，则
y=（2x^2-x+2）/（x^2+x+1）
=2-3x/（x^2+x+1）
=2-3/(x+1/x+1)
(1)x=0,y=2
(1) x>0
3/(x+1/x+1)<=1
y>=1
(2) x<0
3/(x+1/x+1)>=-3
y<=5