Question

函数fx=ax+b/1+x平方是定义在(-1,1)上是奇函数且F1/2=2/5解不等式F(t-1)+Ft>0

Answer 1

f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
f(-x)=(-ax+b)/(1+x^2)
f(x)在（-1,1）上为奇函数，所以
f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/(1+x^2)=-(ax+b)/(1+x^2),
可得 b=0,
f(x)=ax/(1+x^2)
f(1/2)=2/5=(a/2)/[1+(1/2)^2]=2a/5
所以 a=1
故 f(x)=x/(1+x^2)
利用函数单调性的定义或导数可以证明f(x)在（-1,1）上是增函数，
f(t-1)+f(t)>0, f(t-1)>-f(t)=f(-t), 1>t-1>t>-1,
左边得 t<2; 中间得 t>1/2, 右边得 t>-1
所以 1/2<t<2.

Answer 2

f(x)=x/(1+x^2)
设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<0, x1x2<1, 1-x1x2>0
f(x1)-f(x2)
=[x1/(1+x1^2)]-[x2/(1+x2^2)]
=[(1+x2^2)x1-(1+x1^2)x2]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(x1-x2)(1-x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]<0
f(x1)<f(x2)
函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数

f(t-1)+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2

同时：-1<t-1<1, -1<t<1, 则：0<t<1

所以：0<t<1/2