Question

已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足①f(1)=4②若x∈[0,1]，都有f(x)≥3

③若X1≥0，X2≥0，X1﹢X2≤1则有 f(X1+X2)≥f(X1)+f(X2)－3，试证明f(1)+f(1/3)+f(1/9)+…+f{1/[3^(n-1)]}<3n+3/2
问题补充：出自全国100所名校单元测试示范卷 高三 数学卷五
注意是3n+1.5

Answer 1

由③可以归纳出一个结论：f(m×x)≥m×f(x)-3(m-1)，m是正整数。
现在取m=1,3,...,3^(n-1)，相应的x的取值分别是1，1/3,.../1/(3^(m-1)（就是始终让m*x=1）。
得到
f(1)=4=3+1
f(1/3)≤3+1/3
f(1/9)≤3+1/3^2
.....
f(1/3^(n-1))≤3+1/3^(n-1)
相加，使用等比数列的前n项和公式，即可得到结论

Answer 2

fsf