Question

求解方程 cos z + sin z = 2；需要详细步骤谢谢~

Answer 1

显然z需为复数，令z=a+ib，
cosz=(e^iz+e^(-iz))/2
sinz=(e^iz-e^(-iz))/(2i)
代入得：
e^iz+e^(-iz)-ie^iz+ie^(-iz)=4
e^(-b+ia)+e^(b-ia)-ie^(-b+ia)+ie^(b-ia)=4
e^(-b)(cosa+isina)+e^b(cosa-isina)+e^(-b)(sina-icosa)+e^b(sina+icosa)=4
对比实部与虚部得：
e^(-b)(cosa+sina)+e^b(cosa+sina)=4 1）
(cosa-sina)(e^b-e^(-b))=0, 得：cosa-sina=0或e^b-e^(-b)=0，前者得tana=1, a=kπ+π/4, 后者得b=0
当a=kπ+π/4时，sina+cosa=(-1)^k √2,代入1）式得：e^(-b)+e^b=(-1)^k 2√2, 因左边为正数，所以有k为偶数2n。此时a=2nπ+π/4, e^(-b)+e^b=2√2, 解得：b=±ln(√2+1)
当b=0时，代入1）式得：cosa+sina=2, 没解,
综合得原方程的解为：
z=2nπ+π/4±iln(√2+1) , n为任意整数。

Answer 2

无解