Question

简单高数题

根据数列极限的定义证明：lim（2的n次方-1）/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号。求完整的步骤，尤其是解n和N取值那步，非常感谢！
我才刚学，要按书上的步骤写。。。

Answer 1

对于任意ε>0
令N=max{1,lnε/ln(2/3)}
则当n>N时
|（2的n次方-1）/3的n次方-0|
=（2的n次方-1）/3的n次方
<=2^n/3^n
<=(2/3)^n
<(2/3)^[lnε/ln(2/3)]
=e
所以由极限定义
lim（2的n次方-1）/3的n次方 =0

下解释为何是N=max{1,lnε/ln(2/3)}
1是用来参考的，N至少为1
后面的是合适的放缩
即|（2的n次方-1）/3的n次方-0|<ε
这个方程直接不好解
我们发现
2^n>2^n-1>0
所以2^n/3^n>(2^n-1)/3^n>0
而2^n/3^n<ε
很好解
即为
(2/3)^n<ε
n>lnε/ln(2/3)
所以适当放大后
因为2^n/3^n<ε
所以(2^n-1)/3^n<2^n/3^n<ε

Answer 2

对于给定的一个任意小的数 ɛ > 0, 存在一个N, 使得当 n > N(ɛ) ，极限值小于ɛ。
现在要找的是N(ɛ) 的关系式。

| 2^(n-1)/3^n - 0| < ɛ
(2/3)^n < 2ɛ
n > ln(2ɛ)/ln(2/3)
取 N = ln(2ɛ)/ln(2/3) 可以满足上述要求。

证毕

Answer 3

=lim[(2/3)^n-(1/3)^n
2/3<1,1/3<1
所以两个式子都趋于0
所以原式=0

Answer 4

对于任意ε>0
令|2^(n-1)/3^n|<ε
n>lg(2ε)/lg(2/3)
取N=[lg(2ε)/lg(2/3)]
则n>N时|2^(n-1)/3^n|<ε
即lim2^(n-1)/3^n=0

追问

题是2^n-1,不是2的（n-1)次方

追答

|(2^n-1)/3^n|lg(ε)/lg(2/3)
取N=max{[lg(ε)/lg(2/3)] , 1}
则n>N时|（2^n-1)/3^n|<(2/3)^n<ε
所以lim(2^n-1)/3^n=0

Answer 5

n-->-∞时，2的n次方-1趋于0，则极限为0