Question

已知椭圆C方程4x^2+9y^2=36,直线y=kx+m与椭圆C交于AB两点,且以AB为直径的圆恰好过椭圆右顶点

求直线过定点

Answer 1

就此题而言，应用椭圆的参数形式优于y=kx+m 代入或者其他的常规方法。或许只有一种方法比参数法更简便。

顶点K（3，0） ； A(3cosα,2sinα) ; B(3cosβ,2sinβ)

且以AB为直径的圆恰好过椭圆右顶点 等价于 KA⊥KB
k KA = 2sinα/ [3cosα-3] = 4[sinα/2cosα/2] / [-6(sinα/2)^2] = -2/3tanα/2
同理 k KB = -2/3tanβ/2

k KA*k KB = -1 所以 -4/9 = tanα/2tanβ/2.....1#

现在我们回过头来 kAB = 2[sinα-sinβ]/3[cosα-sinβ]
= 4sin(α-β)/2cos(α+β)/2/ (-6sin(α+β)/2sin(α-β)/2) = -2[cos(α+β)/2]/3sin(α+β)/2

直线AB: -2[cos(α+β)/2]/3[sin(α+β)/2]*(x-3cosα) = y-2sinα

-2[cos(α+β)/2]/3sin(α+β)*x = y-[2sinα*[sin(α+β)/2]*+2[cos(α+β)/2]*cosα]/[sin(α+β)/2]

也就是说 -2[cos(α+β)/2]/3(sin(α+β)/2)*x = y-2[cos(α-β)/2]/[sin(α+β)/2]

所谓定点，也优先考虑与坐标轴的交点 ; y=0 时

x = [cos(α-β)/2]/[cos(α+β)/2] = [cosα/2cosβ/2+sinα/2sinβ/2]/[cosα/2cosβ/2-sinα/2sinβ/2]

分子分母同时除以 cosα/2cosβ/2
x = [1+tanα/2tanβ/2]/[1-tanα/2tanβ/2],联立 1# ;tanα/2tanβ/2 = -4/9

x = 5/13; 直线AB恒过(5/13,0)

Answer 2

4x²+9(kx+m)²=36
(4+9k²)x²+18kmx+(9m²-36)=0
由韦达定理：
x1+x2=-18km/(4+9k²)
x1x2=(9m²-36)/(4+9k²)
因为A2A⊥A2B(A(a,0)
[(-y1)/(x1-a)][(-y2)/x2-a)]=-1
y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a²=0
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+m(x1+x2)+m²
(1+k²)x1x2++(m-a)(x1+x2)+(a²+m²)=0
(1+k²)(9m²-36)/(4+9k²)+(m-a)[-18km/(4+9k²)]+(a²+m²)=0
运算量太大待续

Answer 3

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