Question

请问这个微分方程答案为什么不带绝对值

答案为

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Answer 1

　　如果猜的不错的话，你高中数学应该学的不错，中学数学特别是高考数学，出题一般比较严谨，很少出现这样那样的漏洞，但是，当你上了大学以后豁然发现，好多问题都有漏洞，其实，这都比较正常，因为大学及以上问题较深、较多，很做到尽善尽美，特别是一些不重要的细节能省则省。
例如，你提到的问题，似乎解微分方程只关心得到原函数的解析式，中间过程能省则省。但也不是完全没有道理，事实上，期间充满了技巧性，比如你提到的第一个问题：积分后ln里不带绝对值，我们可以理解为最后结果整理结果后C往往是所有实数，考虑绝对值和不考虑绝对值的结果都是一样的！先回答第二个问题，再就你的例子举例说明：积分后的常数为什么是lnC，①这里可以用lnC，因为lnC可以取值到全体实数，但C²不行，因为这里C²只能取到全体非负实数；②用lnC很大的方便了其与lntanx的合并。
下面以你的问题举例：||
由 [(secy)^2/tany]dy=-[(secx)^2/tanx]dx
得 [1/tany]d(tany)=-[1/tanx]d(tanx)

若考虑绝对值：则 ln|tany|=-ln|tanx|+lnC1=ln[C1/|tanx|]，
即有ltany|=[C1/|tanx|]，tany=±C1/tanx，tanytanx=±C1
令C=±C1，则方程解为tanytanx=C

若不考虑绝对值：则lntany=-lntanx+lnC=ln(C/tanx)，tany=C/tanx，
方程解为tanytanx=C

可以看出，考虑和不考虑绝对值，得出解的形式是相同的，似乎两个结论中的C取值范围不同，但若只考虑取值同时注意tany和tanx值域为R，则可以要求C取一致的取值范围，但曲线函数还是不同，这就是大学中好些问题不能尽善尽美之处，可这并不影响数学本身的魅力。
本人拙见，希望能帮到你！两节快乐！

Answer 2

[(secy)^2/tany]dy=-[(secx)^2/tanx]dx
[1/tany]d(tany)=-[1/tanx]d(tanx)
tany,tanx都属于R
故上述问题等价于
(1/y)dy=(-1/x)dx
得lny=-lnx+c
1、所以你的问题是问为什么(1/y)dy=lny而不是(1/y)dy=ln|y|，很简单，因为有隐含条件！一般情况下，y定义域默认为y>0。
2、无论是c还是lnc，它们都只表示一个常数项，用啥都行的，不用纠结。。

Answer 3

呵呵，因为你要最后一定要消了ln，那前面会有个c，如果你带绝对值，c>0，而去了绝对值，那就变正负皆可了。呵呵，所以一般不加。