Question

幂平均不等式及琴生不等式的证明，高中奥赛 详细点，不要跨太多步骤

Answer 1

下面只对凸函数加以证明。

首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法

假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k 1)

(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n

=((f(x1) f(x2) ... f(x(n/2)))/(n/2) (f(x(n/2 1)) ... f(xn))/(n/2))/2

≥(f(（(x1 x2 ... x(n/2)）/(n/2)) f((x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2

≥f(((（(x1 x2 ... x(n/2)）/(n/2) (x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2)

=f((x1 x2 ... xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

然后我们设

x(n 1)=x(n 2)=...=x(2^k)=(x1 x2 ... xn)/n

代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2 x2^2 ... xn^2)/n>=[(x1 x2 ... xn)/n]^2

显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1) f(x2))/2=(x1^2 x2^2)/2=(2x1^2 2x2^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2 (x1-x2)^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2)/4=((x1 x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凸函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n≥f((x1 x2 ... xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

追问

谢谢了，你真厉害