Question

一道高一集合数学题

如果对于一个集合中任意两个元素，做某种运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对此运算是封闭的，已知A=｛0，1｝，B=｛y|y=m+n√2，m，n∈Z｝，试判断A，B对加，减，乘，除四种运算是否封闭，为什么？

请写出答案与解题思路，谢谢！！

Answer 1

对A进行考察：
加法：∵1+1=2∉A，∴不封闭
减法：∵0-1=-1∉A，∴不封闭
乘法：∵0×0=0×1=0∈A且1×1=1∈A，∴封闭
除法：∵0÷0∉A，∴不封闭
对B进行考察：
任设p、q∈B且p=a+b√2，q=c+d√2
加法：∵p+q=(a+c)+(b+d)√2∈B，∴封闭
减法：∵p-q=(a-c)+(b-d)√2∈B，∴封闭
乘法：∵pq=(ac+2bd)+(ad+bc)√2∈B，∴封闭
除法：p/q=【(ac-2bd)+(bc-ad)√2】/【c²-2d²】
若c²-2d²=0，则c=√2d，c、d中至少有一个不属于Z或者都为0
前者与题意矛盾舍去，由后者可得不封闭

Answer 2

读懂题意先
集合A就两个元素 0 1
则加 0+1=1 1属于A 故可以
减 注意 1-0=1 虽可以 但封闭集合强调是任意都 因为0-1=-1 所以不可以
乘 同理 1x0=0 可以
除 1/0无意义 不考虑 0/1=0 故可以
对于集合B
此为抽象集合 可设求解
设y1=m1+ √2n1
y2=m2+√2n2
加 y1+y2=m1+√2n1+m2+√2n2 = （m1+m2）+√2（n1+n2 ） 故可以
减 同理 y1-y2=（m1-m2）+√2（n1-n2 ） 故可以
乘 y1 x y2 =（m1m2+2n1n2）+√2(m1n2+m2n1) 故可以

除 yi/y2 = （m1+ √2n1）/（m2+√2n2）
分子分母同乘（m2-√2n2）
得 yi/y2 =（m1m2+2n1n2）/（m2^2-2n2^2） +√2(m1n2+m2n1) /（m2^2-2n2^2)
对于 （m1m2+2n1n2）/（m2^2-2n2^2 和 √2(m1n2+m2n1) /（m2^2-2n2^2)
无法化解成最简整数
所以不符合集合B的要求 故不可以

Answer 3

A 0-1=-1 减法不封闭 其他封闭
B 算一下 （a+b√2）/（c+d√2 ）和 （ a+b√2）*（c+d√2） 结果都是m+n√2的形式
容易看出 （a+b√2）-（c+d√2 ）和 （ a+b√2）+（c+d√2）也有m+n√2的形式 所以B对四种运算全都封闭