Question

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,AD和BE是△ABC的高,它们相交于点H,且AE=BE求证：AH=2BD

Answer 1

分析：△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，则BC=2BD，又∵BE是高，所以，∠AEH=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C，所以，∠AHE=∠C，所以，△AHE≌△BCE，则AH=BC，即AH=2BD．

解答过程：
证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，
∴BC=2BD，
又∵BE是高，
∴∠AEH=∠BEC=90°，
则∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠C，
在△AHE和△BCE中，

∠AHE=∠C
∠AEH=∠BEC
AE=BE

∴△AHE≌△BCE（AAS），

∴AH=BC，又BC=2BD，
∴AH=2BD．

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Answer 2

∵AB＝AC、AD⊥BC，∴2BD＝BC。
∵BE⊥CE、AD⊥CD，∴∠HAE＝∠CBE（同是∠C的余角），
∵AE＝BE、∠HAE＝∠CBE、∠AEH＝∠BEC＝90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH＝BC＝2BD。