Question

在△ABC中，B=π/4，AC=2√5，cosC=(2√5)/5.求sinA

在△ABC中，B=π/4，AC=2√5，cosC=(2√5)/5.求sinA

Answer 1

方法一：
∵cosC＝2√5/5＞0，∴C是锐角，又B＝45°，∴可过A作AD⊥BC交BC于D。
显然有：cosC＝CD/AC＝2√5/5，∴CD＝（2√5/5）AC＝（2√5/5）×2√5＝4。
∴AD＝√（AC^2－CD^2）＝√（20－16）＝2。
∵∠B＝45°、AD⊥BD，∴BD＝AD＝2、AB＝2√2，∴BC＝BD＋CD＝2＋4＝6。

∴由余弦定理，有：
cos∠BAC＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC）＝（8＋20－36）/（2×2√2×2√5）＝－1/√10，
∴sin∠BAC＝√［1－（cos∠BAC）^2］＝√（1－1/10）＝3/√10＝3√10/10。

方法二：
∵cosC＝2√5/5＞0，∴C是锐角，又B＝45°，∴可过A作AD⊥BC交BC于D。
∵cosC＝2√5/5，∴sin∠CAD＝cosC＝2√5/5，cos∠CAD＝√［1－（sin∠CAD）^2］＝1/√5。
∵∠B＝45°、AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴sin∠BAD＝cos∠BAD＝1/√2。

∴sin∠BAC
＝sin（∠BAD＋∠CAD）＝sin∠BADcos∠CAD＋cos∠BADsin∠CAD
＝（1/√2）×（1/√5）＋（1/√2）×（2√5/5）＝1/√10＋2/√10＝3/√10＝3√10/10。