Question

椭圆问题

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆x²/9+2y²/9=1的右顶点,点D(1,0),点P,B在椭圆上.向量BP=向量DA.
(1)求直线BD的方程;
(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长;
(3)是否存在分别以PB.PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(解题过程太多，这里只简单描述一下)
解：(1) 向量BP=向量DA，其中D、A的坐标分别是(1,0)、(3,0)，所以B、P两点（对称点）的坐标分别是(-1,y)、(1,y)。代入椭圆表达式，可解得：B、P两点的坐标分别是(-1,2)、(1,2)。那么，直线BD的方程是：y=-x+1
(2)因为y轴是BP线段的垂直平分线，所以P、A、B三点的圆圆心比在y轴。所以，此圆表达式为x^2+(y-y0)^2=r^2。把点P、A坐标代入表达式可以得到，y0=-1, r^2=10。即，圆表达式为：x^2+(y+1)^2=10。把BD直线表达式代入圆，求得BD与圆相交的另一点坐标为：(3,-2)。于是，弦长为点B(-1,2)至点(3,-2)的长，最后可得，弦长为4√2。
(3)PA、PB为弦的圆心必定落在中垂线上，并且两圆心连线必会经过P点。那么，假设一条直线通过P点，且与两中垂线相交。直线表达式为y-2=a*(x-1)。当直线跟两中垂线的交点（圆心）至P点距离相等时，两圆为等圆。（解题过程省略）最终a=-1或a=3。至此，你就可以列出两个等圆的方程式了。