Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=30°，AB=BD.求证：AD=DC

Answer 1

过B作BM⊥AD于M,在线段BM上截取AN=AD,连ND
∵AB=BD,ABD=30
∴BM垂直平分AD,ABN=15,BAD=BDA=75,
∴AN=ND,DAC=90-75=15
∵AN=AD∴AN=AD=ND,△ADN为等边三角形
∴NAD=60
∴BAN=90-NAD-DAC=90-60-15=15
∴BAN=ABN=DAC=15,BN=AN
∵AB=AC,BAN=CAD=15,AN=AD
∴△BAN≌△CAD
∴DCA=NBA=15=DAC
∴AD=CD,即△ACD为等腰三角形

Answer 2

第一种方法
证明：∵AB=AC,∠BAC=90º
∴∠ABC=∠ACB=45º
∵BD=AB,∠ABD=30°
∴∠BAD=∠BDA=（180º-30º）÷2=75º
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90º-75º=15º
∠DBC=∠ABC-∠ABD=45º-30º=15º
∴∠DAC=∠DBC
在BC上截取BE=AD
∵BD=AC，∠DBE=∠DAC，BE=AD
∴⊿BDE≌⊿ACD（SAS）
∴∠BDE=∠ACD
DE=DC
∴∠DCE=∠DEC
∵∠DEC=∠EBD+∠BDE=15º+∠ACD
∠DCE=∠ACB -∠ACD =45º-∠ACD
∴15º+∠ACD=45º-∠ACD
∴∠ACD=15º
∴∠ACD=∠DAC
∴AD=DC

第二种方法：
作A关于BC的对称点E，
连接BE CE DE 则四边形ABEC 是正方形。
还可知：三角形DBE是正三角形，所以三角形BAD和三角形ECD全等（边角边）
所以：AD=DC