Question

△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,且c是最大边

△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,且c是最大边.证明：△ABC是锐角三角形的充要条件是：

ac cosA+bc cosB<4S，S为三角形的面积

Answer 1

证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以（a-b）=0，（b-c）=0，（c-a）=0．
即a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．
（2）必要性：如果△ABC是等边三角形，则a=b=c．
所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca
综上可知：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ca．