Question

如图三角形ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点，

DE垂直AB，DH垂直AC,CF垂直AB，垂足分别为E,H,F,求证：DE+DH=CF.

Answer 1

　　证明：连接AD
　　∵DE垂直AB，DH垂直AC,CF垂直AB，垂足分别为E、H、F
　　∴DE、BH、CF分别为△ABD、△ACD、△ABC的高
　　∵三角形的面积=(底×高)/2
　　∴S△ABC=AB·CF/2
　　 S△ABD=AB·DE/2
　　 S△ACD=AC·DH/2
　　又∵S△ABD+S△ACD=S△ABC
　　∴AB·DE/2+AC·DH/2=AB·CF/2
　　∴AB·DE+AC·DH=AB·CF
　　∵AB=AC
　　∴DE+DH=CF

Answer 2

本题只须证两次相似即三角形BDE相似于三角形BCF;三角形CDH相似于三角形BCF
前者可得BD/BC=DE/FC后者可得CD/BC=DH/FC
两式相加得(BD+CD)/BC=(DE+DH)/FC=1
所以DE+DH=CF

Answer 3

作DG垂直FC交FC于G
DG平行AB
FG=ED
∠CDG=∠B=∠C
直角△GDC≌直角△HCD
DH=CG
CF=FG+CG=ED+DH