Question

设P,Q为ABC三角形内的两点，且向量AP=1/2向量AB+1/4向量AC，向量AQ=1/4向量AB+1/2向量AC,则

S△APQ与S△ABC之比

Answer 1

延长 AP 交 BC 于 M ，延长 AQ 交 BC 于 N ，
设 AM=x*AP ，AN=y*AQ ，
则 AM=x/2*AB+x/4*AC ，由于 B、M、C 三点共线，因此 x/2+x/4=1 ，
解得 x=4/3 ，同理 y=4/3 ，
由于 PQ=AQ-AP=(1/4*AB+1/2*AC)-(1/2*AB+1/4*AC)=1/4*(AC-AB)=1/4*BC ，
因此 SAPQ/SABC=(1/2*PQ*hPQ)/(1/2*BC*hBC)
=PQ/BC*hPQ/hBC=PQ/BC*AP/AM=1/4*3/4=3/16 。
所以，SAPQ：SABC=3：16 。