Question

设定义在R上的函数f(x)满足对于任意x,y∈R

设定义在R上的函数f(x)满足对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2,当x＞o时，f(x)＜0.
试问 当-3≤x≤3时,f(x)是否有最值?

Answer 1

在R上任取x1、x2，设x1>x2，因为 f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)，那么f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)

因设 x1>x2，那么x1-x2>0，已知　当x>0时，f(x)<0，得出　f(x1-x2)<0，所以　f(x1)-f(x2)<0

　上述推导过程说明：对R上任意的x1>x2，有f(x1)<f(x2)。我们判断出函数f(x)在定义域R上是减函数。

因为函数f(x)在定义域R上是减函数，所以在闭区间[-3，3]上，函数的最大值是f(-3)，最小值是f(3)。

取x=y=0，因为f(x+y)=f(x)+f(y)，那么f(0)=f(0)+f(0)，求出f(0)=0；取y=-x，
那么f(0)=f(x)+f(-x)，得出f(-x)=-f(x)，函数f(x)为奇函数。

f(3)=f(1)+f2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6

f(-3)=-f(3)=6

　结论： 当x大于等于－3且小于等于3时，函数的最大值是6，最小值是－6