Question

向量OA+向量OB+向量OC=0向量，且OA=1 OB=2 OC=根号3 则三角形ABC面积

过程

Answer 1

∵向量OA+向量OB+向量OC=0向量

∴向量OA+向量OB= - 向量OC

∴∣向量OA+向量OB∣²=∣- 向量OC∣²

∴∣向量OA∣²＋2向量OA·向量OB＋∣向量OB∣²＝向量OC²

把上述条件中向量的模代入得

2向量OA·向量OB＝ -2即　向量OA·向量OB＝ -1

设向量OA与向量OB所成的角为θ

则由向量相乘的公式得cosθ=-1/2

∴θ=120º

用同样的方法求出向量OA与向量OC所成的角为90º，再得出向量OB与向量OC所成的角为150º

在△AOC中，根据勾股定理，解得AC=2

在△AOB中，根据余弦定理，cos∠AOB=(OA²+OB²-AB²)/(2×OA×OB)

把数据代入解得AB=√7

再一次利用余弦定理，解得BC=3

• (为了不混乱，这里先小小地理一下，现在知道了三角形的三边长  AB=√7，BC=3，AC=2)

再利用余弦定理，cos∠ACB=(AC²+BC²-AB²)/(2×AC×BC)   解得∠ACB=30º

• 这样就简单啦，在△ABC中，可以过点A作BC的垂线，刚刚算了∠ACB=30º，所以作的这条高可以算出来是1，接下来么，三角形的面积公式，1/2底×高  代入 解得三角形的面积为 1/2 × 3 ×1 =3/2

Answer 2

由OA、OB、OC向量构成的三角形三边长可知∠AOB=120°，∠BOC=150°，∠AOC=90°，
S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=1/2*(1*2*sin120°+√3*2*sin150°+1*√3*sin90°)=(3√3)/2