Question

用极限的定义证明

lim x→-1 （x-x^3)/(x+1)=-2

Answer 1

|(x-x^3)/(x+1)+2|=|x^3-3x-2|=|(x+1)(x^2-x-2)|=|x+1|^2|x-2|
限制|x+1|<1,|x-2|<4
任给ε>0,取δ=min{1,√ε/2},当|x+1|<δ时，有
|(x-x^3)/(x+1)+2|=|x^3-3x-2|=|(x+1)(x^2-x-2)|=|x+1|^2|x-2|<ε
所以：lim x→-1 （x-x^3)/(x+1)=-2

Answer 2

f(x)=(x-x³)/(x+1)
|f(x)-(-2)|=|-x²+x+2|
∀ε>0 只要
|-x²+x+2|<ε
因此只要取δ=ε,那么当0<|-x²+x+2|<δ时,就有
|-x²+x+2|<ε

∴lim x→-1 （x-x^3)/(x+1)=-2