用极限的定义证明

heanmeng
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知道大有可为答主
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(1)证明lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5
证明:首先限定│x-3│<1,则1<x-1<3,0<x-2<2。
对任意的ε>0,解不等式
│(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε
得│x-3│<ε/2,取正数A≤min{1,ε/2}
于是,对任意的ε>0,总存在正数A≤min{1,ε/2},当0<│x-3│<A时,有│(x^2+1)/(x-1)-5│<ε
即 lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5成立,证毕。
(2)证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3
证明:首先限定n>2,则n-1>1。
对任意的ε>0,解不等式
│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n<ε
得n>4/ε,取正整数N≥max[2,4/ε]
于是,对任意的ε>0,总存在正整数N≥max[2,4/ε],当n>N时,有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│<ε
即 lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立,证毕。
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