Question

如图，在RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆O交AC边于点D，E是边BC的中点.

1、求证：DE切圆O于D

2、若AD=4，DB=2，求DE的才

Answer 1

1
连接BD,OD
∵AB是圆的直径
∴∠ADB=90º
∵∠ABC=90°
∴∠DAB=90º-∠C
∠DBE=90º-∠C
∴∠DAB=∠DBE
∵OA=OD
∴∠DAB=∠ADO
∴∠DBE=∠ADO
∵E是BC中点
∴DE=BE (三角形斜边上中线等于斜边的一半）
∴∠EDB=∠DBE
∴∠EDB=∠ADO
∴∠EDO=∠ODB+∠EDB
=∠ODB+∠ADO
=90º
∴DE切圆O于D
2
∵AD=4，DB=2
根据勾股定理
AB=√(AD²+BD²)=2√5
∵ΔADB∽ΔABC
∴AD/AB=DB/BC
∴BC=AB*DB/AD=2√5*2/4=√5
∴DE=1/2*BC=√5/2

Answer 2

直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
应这样解;
（1）连接BD,OD
证明∵AB是圆O的直径
∵∠CDB=∠ADB=90º
又∵E是BC的中点
∴DE=BE
∴∠EDB=∠EBD
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∵∠ODE=∠EDB+∠ODB
∠ABC=∠EBD+∠OBD
∴∠ODE=∠ABC=90°
即DE切圆O于D
(2)解∵AD=4，DB=2
∴AB=√(AD²+BD²)=2√5
∵ΔADB∽ΔABC
∴AD/AB=DB/BC
∴BC=AB*DB/AD=2√5*2/4=√5
∴DE=1/2*BC=√5/2