Question

设函数f(x)=根号下(x^2+1) -ax 当a≥1时，试判断函数f(x)在区间[1,正无穷)上的单调性，并加以证明

根号下是x^2+1

Answer 1

方法一：
∵f（x）＝√（x^2＋1）－ax，
∴f′（x）＝（x^2＋1）′/［2√（x^2＋1）］－a＝x/√（x^2＋1）－a。
∵x≧1，∴x^2＜x^2＋1，∴x＜√（x^2＋1），∴x/√（x^2＋1）＜1，而a≧1，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在区间［1，＋∞）上是减函数。

方法二：
引入两个自变量：x1、x2，且x2＞x1＞1。
显然有：x2^2＞x1^2，∴（x1x2）^2＋x2^2＞（x1x2）^2＋x1^2，
∴x2^2（x1^2＋1）＞x1^2（x2^2＋1），∴x2√（x1^2＋1）＞x1√（x2^2＋1），
∴（x1^2＋1）＋2x2√（x1^2＋1）＋x2^2＞（x2^2＋1）＋2x1√（x2^2＋1）＋x1^2，
∴［√（x1^2＋1）＋x2］^2＞［√（x2^2＋1）＋x1］^2＞1，
∴√（x1^2＋1）＋x2＞√（x2^2＋1）＋x1，
∴x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）＞0。

∵a≧1，∴a（x2－x1）≧x2－x1＞√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1），
∴√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0。
∴f（x2）－f（x1）
＝√（x2^2＋1）－ax2－［√（x1^2＋1）－ax2］
＝√（x2^2＋1）－√（x1^2＋1）－a（x2－x1）＜0。
∴f（x）在区间［1，＋∞）上是减函数。