Question

已知函数f(x)=ax-e^x(a∈R)（1）求f(x)的单调区间；（2）设g(x)=x^2-2x+1,证明：当1<a<e时，对任意

x1∈(负无穷，正无穷)，总存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2)成立

Answer 1

你好：
（1）。对原函数求导得：f `(x)=a-e^x
当a<=0时，f `(x)<0，所以原函数在R上单调递减。
当a>0时，令f `(x)=0，解得：x=lna
且当x<lna时，f `(x)>0,原函数在此区间内单调递增。
当x>lna时，f `(x)<0，原函数在此区间内单调递减。
（2）。依题意：g(x)=(x-1)^2 且x2∈[0,1]，所以g(x)∈[0,1]
对f(x)：当1<a<e时，由上题知道：
当x<lna时，原函数在此区间内单调递增。
当x>lna时，，原函数在此区间内单调递减。即是：当x=lna时，f(x)有最大值：
f(x)max=f(lna)=alna-a<(alne-a)=(a-a)=0<=g(x)
即是：f(x)max<0，所以：f(x1)<g(x2)
所以命题得证。
回答完毕，谢谢！