Question

在数列{an}中，a1=6,an=3an-1+3n(n≥2，且n∈N*)

在数列{an}中，a1=6,an=3an-1+3n(n≥2，且n∈N*)
1.求证数列{an/3n}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
2。若bn=an-3n，求数列{bn}的前n项和Sn

Answer 1

1、因为an=3an-1+3n(n≥2，且n∈N*)
所以等号两边同除以3n得（an)/(3n)-[a(n-1)]/[3^(n-1)]=1(n≥2，且n∈N*)
所以数列{an/3n}为等差数列，其首项为a1/3=2
故an/3n=2+(n-1)×1=n+1
得an=3n(n+1)
2、bn=an-3n=3n^2
令cn=n^2 ，设cn的前n项和为Tn.(用立方差公式构造，叠加）
∵ (n+1)^3-n^3
=(n+1-n)[(n+1)^2+(n+1)n+n^2] (立方差公式）
=3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

∴2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
.........................................
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上面n个等式两边相加：
（n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
n(n^2+3n+3)=3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)+3(n+1)n/2+n
∴3(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)
=n(n^2+3n+3)-3(n+1)n/2-n
=n/2[(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2]
=n/2(2n^2 +3n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
∴Tn=1^2+2^2+3^2+..........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Sn=3Tn=n(n+1)(2n+1)/2

Answer 2

an/3n不是等差数列吧

Answer 3

a n+1=3an+3（n+1） 两式相减