Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）在此

抛物线的对称轴上，⊙M的半径为√5.设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）求证：△BDO∽△BCE；
（3）坐标轴上是否存在点P，使P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.解∵C点为（0，-3
∴MC=根号[（1-0）²+（-3-m）²]=根号5,解得m=-1或-5
∵y=ax^2+bx-3=a[x+b/（2a）]²-b²/（4a）-3
∴A点为（-b/（2a）-根号(b²+12a）/2a，0），B点（-b/（2a）+根号(b²+12a）/2a，0）
∵M点在对称轴上，
∴-b/（2a）=1，得到2a+b=0
∴A点为（1+号(b²-6a）/b，0），B点（1-号(b²-6a）/b，0）
∴MB=根号[(1+根号（b²-6a）/b-1）²+（0+1）²]=根号5，解得d=0或-2（当m=-5时无解）
∴a=0（舍去）或1
∴m=-1，抛物线解析式为y=x²-2x-3
2.证明：根据上面可得A点（-1，0），B（3，0)，C(0，-3），D（0，-1），E（1，-4）
∴BC=3根号2，CE=根号2，BE=2根号5
∴BE²=CE²+BC²
∴∠BCE=90°=∠BOD
∴tan∠CBE=CE/BC=1/3
∵OD=1，BO=3
∴tan∠DBO=1/3
∵0＜∠CBE，∠DBO＜90°
∴∠CBE=∠DBO
∴△BDO∽△BCE
3.存在，为点O（0，0）