Question

有关函数的问题，要有解答过程

已知 f(x) 是定义在 [-1,1] 上的函数，且是奇函数，f(1)=1,
若a,b∈[-1,1]，a+b≠0，有 [ f(a)+f(b) ]/ (a+b) ＞0
1.证明函数f(x)在定义域上是增函数
2.若f(x-1)＜f(2x),求x的取值范围
3.若f(x) ≤ -2am+2 对所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围
打字比较麻烦，大家可以把解答写在纸上，用照片好了！

Answer 1

解：(1)设x1,x2∈[-1，1]且x1<x2，在[f(a)+f(b)]/(a+b)>0中取a=x2，b=-x1，
得[f(x2)+f(-x1)]/(x2-x1)>0
由于f(x)是奇函数，且x2-x1>0
∴ f(x2)-f(x1)>0，从而(x)在[-1，1]上是增函数。
(2)若f(x)≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
则 [f(x)]max≤m²-2am+1，
即 f(1)≤m²-2am+1,
∴ m²-2am≥0 对于a∈[-1，1]恒成立
①当m=0时，不等式化为0≥0，成立；
②当m≠0时，令g(a)=m²-2am，则g(a)是单调的，
于是m²-2am≥0 对于a∈[-1，1]恒成立等价于g(1)≥0且g(-1)≥0
即m²-2m≥0且m²+2m≥0，解得m≥2或m≤-2
∴m的取值范围是m≥2或m≤-2或m=0
有什么不懂请您追问，我会为您详细解答，望采纳，谢谢！

追问

第二问呢，我觉得似乎你把第三问的题目看错了，第一问很漂亮！！！

追答

不好意思，看漏了
第二问是这样的
∵f(x-1)＜f(2x) f(x) 是定义在 [-1,1] 的增函数

∴-1≤x-1≤1，

-1≤2x≤1
x-1＜2x
∴0≤x≤1/2
把我答的第二，改为第三个问的回答就可以了
有什么疑问请继续追问！

Answer 2

令-1<=x1<x2<=1,则x1-x2<0,由于f(x)是奇函数,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
因为a,b∈[-1,1]，a+b≠0，有 [ f(a)+f(b) ]/ (a+b) ＞0

即[f(x1)+f(-x2)]/(a-b)>0
所以[f(x1)+f(-x2)]<0,即f(x1)-f(x2)<0所以函数f(x)在定义域上是增函数

f(x-1)<f(2x),则有f(x-1)-f(2x)<0
由于f(x)是奇函数所以有f(x-1)+f(-2x)<0
又因为a,b∈[-1,1]，a+b≠0，有 [ f(a)+f(b) ]/ (a+b) ＞0
所以x-1-2x<0,解得x>-1,即x∈[-1,1]
f(x)是奇函数，f(1)=1,所以f(-1)=-1,所以f(x)的值域为[-1,1]
f(x) ≤ -2am+2 对所有的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立则有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]时,1≤ -2am+2 即可
所以有am<=1/2
当-1<=a<0时,m>=1/(2*a)
当a=0时,m∈R
当0<a<=1时.m<=1/(2*a)

Answer 3