Question

数列{an}满足an+1+(-1)^nan=2n-1,则{an}的前60项和为________。

Answer 1

考点：数列的求和．

专题：计算题．

分析：由题意可得 a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前60项和．

解答：解：由于数列{an}满足an+1+（-1）^n an=2n-1，故有 a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97．
从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8位首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为 15×2+（15×8+(15×14)/2×16）=1830.

点评：本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．

Answer 2

2n-1=a(n+1)+(-1)^na(n),
2(2n-1)-1=a(2n-1+1)+(-1)^(2n-1)a(2n-1)=a(2n)-a(2n-1)=4n-3,
2(2n)-1=a(2n+1)+(-1)^(2n)a(2n)=a(2n+1)+a(2n)=4n-1,
4n-1 - (4n-3) = a(2n+1) + a(2n)- [a(2n)-a(2n-1)] = a(2n+1)+a(2n-1)=2,
a(1)+a(3)+...a(57)+a(59)=[a(2*1+1)+a(2*1-1)]+[a(2*3+1)+a(2*3-1)]+...+[a(2*29+1)+a(2*29-1)]
=2*(30)/2=30.

a(2n+2)-a(2n+1)=4(n+1)-3=4n+1,
4n+1+(4n-1)=a(2n+2)-a(2n+1)+[a(2n+1)+a(2n)]=a(2n+2)+a(2n) = 8n,
a(2)+a(4)+...+a(58)+a(60)=[a(2*1+2)+a(2*1)]+[a(2*3+2)+a(2*3)]+...+[a(2*29+2)+a(2*29)]
=8[1+3+...+29]
=8(15*1+15*14*2/2)
=8*15*15,
a(1)+a(2)+...+a(59)+a(60)=30+8*15*15=30(1+4*15)=30(61)=1830

Answer 3

解：∵an+1+（-1）^n
an=2n-1，
a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，…a50-a49=97．
得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
所以{an}的前40项和为
10×2+（10×8+（10×9）/2
×16）=820