Question

f(n)=5f(n-1)-6f(n-2) (n>1) f(0)=1 f(1)=0 则f(n)的通项式为：______________________________

要写出求解过程

Answer 1

两边同时减去2f(n-1)
f(n)-2f(n-1)=3f(n-1)-6f(n-2)
f(n)-2f(n-1)=3(f(n-1)-2f(n-2))
所以数列f(n)-2f(n-1)是以f(1)-2f(0)=1为首项的，公比为3的等比数列
f(n)-2f(n-1)=1*3^(n-1)

f(n)-2f(n-1)=3^(n-1)
f(n-1)-2f(n-2)=3^(n-2)
...
f(1)-2f(0)=3^0

第二个乘以2，第三个乘以2^2, 一直到第n个乘以2^(n-1)
然后累加，发现中间项都为0
f(n)-2^n f(0)=3^(n-1)+2*3^(n-2)+2^2*3^(n-1)+...+2^(n-1)*3^0
f(n)=3^(n-1)+2*3^(n-2)+2^2*3^(n-1)+...+2^(n-1)*3^0
发现是首项为3^(n-1),公比为(2/3)的n项等比数列求和
=3^(n-1)(1-(2/3)^n)/(1-2/3)
=3^n[1-(2/3)^n]
=3^n-2^n