Question

已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左右焦点,双曲线右支点上有一点P

已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左右焦点,双曲线右支点上有一点P满足∠F1PF2=60°，△F1PF2的面积为2√3，又双曲线离心率为2，求该双曲线的方程

Answer 1

此题看似难，实际解法可以很巧妙。
在△F1PF2中，有F1F2²=PF1²+PF2²-2PF1·PF2·cos60=PF1²+PF2²-PF1·PF2=
(PF1-PF2)²+PF1·PF2，注意到F1F2=2c，PF1-PF2=2a，所以有4c²=4a²+PF1·PF2。
由三角形面积可求出PF1·PF2，S=0.5PF1·PF2·sin60°=2√3，所以有PF1·PF2=8，所以有
4c²=4a²+PF1·PF2=4c²=4a²+8，约简得c²=a²+2，又有e=c/a=2，解方程组可求得c²=8/3,a²=2/3,b²=c²-a²=2