Question

如图，在三角形ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，

如图，在三角形ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的同侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E。求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN

Answer 1

证明：（1）BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
所以BM平行于CN
所以角BMP=角E，角MBP=角ECP
又BP=CP
所以三角形BPM≌三角形CPE（AAS）
（2）因为三角形BPM≌三角形CPE
所以MP=PE
又CN⊥直线a
所以PN=PM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

Answer 2

(1)
证明：j
如图2，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM全等△CPE，

k
∵△BPM全等△CPE，∴PM=PE，∴PM=
ME，∴在Rt△MNE中，PN=
ME，

∴PM=PN；

(2)
成立，如图3，

证明
延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM全等△CPE，∴PM=PE，

∴PM=
ME，则在Rt△MNE中，PN=
ME，∴PM=PN。

(3)
四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。

Answer 3

没图

Answer 4

1