Question

在锐角△ABC中,若BC>BA,AD,CE是两条高,求证:BC+AD≥AB+CE

Answer 1

证明如下：
设三角形面积为K
AD*BC=AB*CE=2K
AD=2K/BC,CE=2K/AB
(BC+AD)-(AB+CE)=(BC+2K/BC)-(AB+2K/AB)
=(BC^2+2K)/BC-(AB^2+2K)/AB
=(AB(BC^2+2K)-BC(AB^2+2K))/(BC*AB)
=(AB*BC^2+AB*2K-BC*AB^2-BC*2K)/(BC*AB)
=[AB*BC(BC-AB)-2K(BC-AB)]/(BC*AB)
=(BC-AB)(AB*BC-2K)/(BC*AB)
=(BC-AB)(AB*BC-AD*BC)/(BC*AB)
=(BC-AB)*BC*(AB-AD)/(BC*AB)
因为
BC>AB，AB>AD（直角三角形斜边大于两直角边,只有角ABC=90度时AB=AD，这与题意不符锐角△）
所以
(BC-AB)*BC*(AB-AD)/(BC*AB)>0
即证明了
BC+AD>AB+CE

刚才已说明了当△ABC是锐角三角形时，等号不成立，只有直角三角形成立。

追问

为三角形呢？

追答

已说明了当△ABC是直角三角形时，等号成立.

追问

那为什么我卷子上没加锐角，是我自己加的，但为什么最后加了等号呢？

追答

你自己加锐角，就不对了。不加正好啊。

追问

那也不是直角三角形啊

追答

我晕，不加锐角，就是全体三角形，其中，直角的一种满足等号。

Answer 2

 

在BC上截取BF=AB,连结AF,作FG⊥AB交AB于G,作FH⊥CE,垂足H,

若BC>BA,则根据等面积原理,长边上的高要短,

∵BC>BA,

∴CE>AD,

∵BF=BA,

∴△BFA是等腰△,

∴AD=FG,(等腰△两腰高相等),

∵FG⊥BA,CE⊥BA,

∴FG//CE,

∵FH⊥CE,

∴四边形FHEG是矩形,

∴HE=FG,

∴CH=CE-FG=CE-AD,

在△FCH中,

∵FC是RT△FCH的斜边,

∴FC>CH,

∵FC=BC-BF=BC-BA,

∴BC-BA>CH,

∴BC-BA>CE-AD,

∴BC+AD>CE+BA.

只有在BC=BA时,CF=0,FG和CE重合,等号方成立,在此题中∵BC>BA,故等号不成立.

Answer 3

同上。