Question

求证:a<0时,f(x)=ax^2+bx+c在[-b/2a,+∞]上是减函数

Answer 1

方法一：
∵a＜0，∴y＝f（x）是一条开口向下的抛物线。
而f（x）＝ax^2＋bx＋c＝a（x^2＋bx/a）＋c＝a［x＋b/（2a）］^2－b^2/（4a）＋c。
∴抛物线的对称轴是x＝－b/（2a）。
显然，开口向下的抛物线在对称轴的右侧是递减的。
∴函数f（x）在区间［－b/（2a），＋∞）上是减函数。

方法二：
∵f（x）＝ax^2＋bx＋c，∴f′（x）＝2ax＋b，令f′（x）＜0，得：2ax＋b＜0，∴2ax＜－b。
∵a＜0，∴x＞－b/（2a）。
∴函数f（x）在区间［－b/（2a），＋∞）上是减函数。