Question

大于一的正整数M的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：2的立方等于

大于一的正整数M的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：2的立方等于3+5三的立方等于3+9+11，四的立方等于13+15+17+19，……若M的立方“分裂”后，其中有一个奇数是2013，则M的值是43,44,45,46中的哪一个？

Answer 1

设M^3=A+(A+2)+...+(A+2n-2)，其中A是奇数，共有n项，且n>1
整理得：M^3=nA+n(n-1)=n(A+n-1)
显然，如果M是质数（43），那么M必须等于n，或者说n必须等于43，此时A+43-1=43^2，A=1807，在这个奇数列中不可能存在2013，因此43被排除
从M^3的表达式得到另外一个推论是：因为n(n-1)恒为偶数，A为奇数，所以M与n的奇偶性必须相同
若M=44=4x11，则n必须为偶数，此外，假如数列包含2013，那么数列的项数应该在44^3/2013=42附近，而在该数附近，只有44能够整除M^3，验算当n=44时，A=1893，不满足要求
同理，若M=46=2x23，n=46，A=2071，不符合要求
当M=45=3x3x5，n=45，A=1981，符合要求，所以答案是45

Answer 2

设M^3=A+(A+2)+...+(A+2n-2)，其中A是奇数，共有n项，且n>1
整理得：M^3=nA+n(n-1)=n(A+n-1)
显然，如果M是质数（43），那么M必须等于n，或者说n必须等于43，此时A+43-1=43^2，A=1807，在这个奇数列中不可能存在2013，因此43被排除
从M^3的表达式得到另外一个推论是：因为n(n-1)恒为偶数，A为奇数，所以M与n的奇偶性必须相同
若M=44=4x11，则n必须为偶数，此外，假如数列包含2013，那么数列的项数应该在44^3/2013=42附近，而在该数附近，只有44能够整除M^3，验算当n=44时，A=1893，不满足要求
同理，若M=46=2x23，n=46，A=2071，不符合要求
当M=45=3x3x5，n=45，A=1981，符合要求，所以答案是45

Answer 3

设M^3=A+(A+2)+...+(A+2n-2)，其中A是奇数，共有n项，且n>1
整理得：M^3=nA+n(n-1)=n(A+n-1)
显然，如果M是质数（43），那么M必须等于n，或者说n必须等于43，此时A+43-1=43^2，A=1807，在这个奇数列中不可能存在2013，因此43被排除
从M^3的表达式得到另外一个推论是：因为n(n-1)恒为偶数，A为奇数，所以M与n的奇偶性必须相同
若M=44=4x11，则n必须为偶数，此外，假如数列包含2013，那么数列的项数应该在44^3/2013=42附近，而在该数附近，只有44能够整除M^3，验算当n=44时，A=1893，不满足要求
同理，若M=46=2x23，n=46，A=2071，不符合要求
当M=45=3x3x5，n=45，A=1981，符合要求，所以答案是45

上面的解法有点难理解噢！看看下面的解法如何？
2的立方等于从3开始的两个连续奇数的和，3的立方等于接下来的3个连续奇数的和，4的立方等于接下来的4个连续奇数的和……M的立方等于M个连续奇数的和。
又S=2+3+4+…+M=[M(M+1)/2]-1，当M=43时S=945，当M=44时S=989，当M=45时S=1034，
当M=46时S=1080。而2013是从3开始的第1006个奇数，故M=45。

Answer 4

1的立方是1
2的立方=3+5
3的立方=7+9+11
4的立方=13+15+17+19
。
。
。
我们找到两条规律 第一 1的立方 1个数 2的立方 2个数 3的立方3个数 4的立方4个数 。。。。。m的立方m个数字
第二个规律是 1的立方 2的立方。。。。。。。。。。。。。m的立方 所有的数字放在一起 构成1，3，5，7，9,。。。。。2n-1 的等差数列
首先由第二个规律可知 2013=2n-1可知道 n=1007 就是 形成等差数列的第1007项

由第一个规律 可知道 第m个数的立方，一共有 1+2+。。。。+m 个项， 即为（1+m）m\2个数
综上 （1+m）m\2 约等1007 近似（m）m\2 约等1007 可解得m约等44 ——45的数字 取 整数 为45 2013 是45的立方的 某一项

Answer 5

分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：
∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数。
∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m＝45。