Question

已知圆O:x^2+y^2=4上有一定点P和两个动点A、B,且AB=2，则向量PA×向量PB=

Answer 1

因为 P、A、B 都在圆 O 上，所以 |OP|=|OA|=|OB|=2 ，
因此，由 |AB|=|OB-OA| =2 得 OB^2+OA^2-2OA*OB=4 ，
解得 OA*OB=2 ，
所以，由 (OA+OB)^2=OA^2+OB^2+2OA*OB=4+4+4=12 得 |OA+OB|=2√3 ，
设 OP 与 OA+OB 的夹角为 θ ，
则 PA*PB
=(OA-OP)*(OB-OP)
=OA*OB-OP*(OA+OB)+OP^2
=2-2*2√3cosθ+4
=6-4√3cosθ 。
由 -1<=cosθ<=1 得
PA*PB 的取值范围是 [6-4√3 ，6+4√3] 。