Question

设f（x）=1-x²/1+x²，判断函数f（x）在区间[0，+无穷]上的单调性，并用定义证明

Answer 1

f（x）=(1-x²)/(1+x²)
=[2-(1+x²)]/(1+x²)
=2/(1+x²) -1
f(x)在[0,+∞)上是减函数

证明：
任取0≤x1<x2
f(x1)-f(x2)
=[2/(1+x²1)-1]-[1/(1+x²2)-1]
=2/(1+x²1)-2/(1+x²2)
=2(x²2-x²1)/[(1+x²1)(1+x²2)]
=2(x2-x1)(x2+x1)/[(1+x²1)(1+x²2)]
∵0≤x1<x2∴x2-x1>0,x1+x2>0
又(1+x²1)(1+x²2)>0
∴2(x2-x1)(x2+x1)/[(1+x²1)(1+x²2)]>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数

希望能帮到你啊，不懂可以追问，
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追问

求单调区间的方法之一有运算性质法，我就不懂什么是运算性质法，我昨天就提问到百度了，悬赏都到50了，可到现在都没人回答，你是高中数学老师，应该会吧

追答

没看到你的问题，你可以把问题链接发给我

追问

不懂

追答

不知哪里不懂，具体一点
本题的证明已经很清晰了
不可能再给你写一遍，哪
一步不会指出来。

追问

我已经把运算性质法这个问题发给你了，收到没

追答

发到哪里了，没收到

追问

那我重写一遍，就是“运算性质法求单调区间,运算性质法有哪些，例如y=f(x) y=g(x)都是增函数，则y=f（x)+g(x）也是增函数，老师还说什么相乘相减不是的”我就不太懂了，希望你详细解说一下，感激不尽

追答

在公共区间内
f(x)增函数，g(x)增函数==>f(x)+g(x)是增函数
f(x)减函数，g(x)减函数==>f(x)+g(x)是减函数
f(x)增函数 ===> -f(x)减函数
f(x)在[a,b]上增函数 ===> f(-x)在[-b,-a]上减函数

相乘相减无结论：
举反例：
1
f(x)=x是增函数，g(x)=2x是增函数
f(x)*g(x)=2x^2先减后增
乘法的结果不一定
2
f(x)=x²在[0,+∞)增，g(x)=x在[0,+∞)
f(x)-g(x)=x²-x在[0,1/2]减，在[1/2,+∞)
两个增函数相减单调性很复杂，无定论

追问

太感激了，不过你说的“乘法的结果不一定”是什么意思啊，还有你能不能再举一个相除的例子啊

追答

乘法的结果不一定：可能增，也可能减，无定论

Answer 2

设 0≤x1＜x2
f(x1)-f(x2) =（1-x1^2）/（1+x1^2）-(1-x2^2）/（1+x2^2）
=[(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）]/[（1+x2^2）（1+x1^2）]
对 [(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）] 整理得
2（x^2-x1^2）
因为 0≤x1＜x2
所以 2（x^2-x1^2）＞0
显然 [（1+x2^2）（1+x1^2）]＞0
故 f(x1)-f(x2)＞0 即 f(x1)＞f(x2)

函数f（x）在区间[0，+无穷]上单调递减

追问

整理得
2（x^2-x1^2）
你是怎么整理的，方法呢

追答

[(1-x1^2)（1+x2^2）-（1+x1^2）（1-x2^2）]
就把这个式子计算出来就得到
2（x^2-x1^2）啦

追问

不会吧·！！那也太烦了吧！！我还以为有什么简便的方法呢

追答

呵呵呵，这就整理一下，还好吧

追问

我刚才也照你说的整理了一下，的却不是太烦，是我太夸张了，呵呵

追答

对嘛，其实有时候只是我们自己吓唬自己罢了，给个满意答案呗

追问

实在对不起，你们两个我都想给满意答案，可是另一个人帮我的忙更大点，所以，让你失望了，对不起哦，请谅解