Question

已知函数f(x)=3x-1/x+1,(1)求证函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数(2)求函数f(x)在区间[3，7]上的

最大值和最小值

Answer 1

f(x)=3x-1/x+1
f(x+1)=3(x+1)-1/(x+1)+1
=3x-1/(x+1)+4
f(x+1)-f(x)=1/x-1/(x+1)+3
=(x+1-x)/x(x+1)+3
=1/x(x+1)+3
=1/[(x^2+x+1/4)-1/4]+3
=1/[(x+1/2)^2-1/4]+3
证明在(-1,正无穷) 增函数，需要f(x+1)大于f(x)，即证明1/[(x+1/2)^2-1/4]+3大于0就行了。这个简单了吧。
第二问，因为f(x)在（－1，正无穷）是增函数，所以最大值是f(7),最小值是f(3)，带进去就算出来了

Answer 2

f(x)=3x-1/x+1=[3(x+1)-4]/x+1=3-4/x+1

g(x)=4/x+1在（-1，+∞)是递减，所以-4/x+1是递增
所以f(x)=3-4/x+1在（-1，+∞)是递增函数

f(x)在区间[3，7]上的最大值和最小值

f(3)最小=2
f(7)最大=5/2