Question

已知椭圆x^2/m+y^2/(m-1)=1,(2<=m<=5),过左焦点F且斜率为1的直线与椭圆及其

及其某准线交点从左到右依次为A.B.C.D.记f(m)=｜｜AB｜-｜CD｜｜,
（2）求f(m)的最大值和最小值。要详细的过程，谢谢大家。 主要不懂-2m比2m-1是怎么来得。 还有fm等于根号2乘以2m比2m-1怎么来的

Answer 1

由题意可知 左焦点坐标为 F( -1,0) ；直线 为 y=x+1
设A,B,C,D四点横坐标为x1,x2,x3,x4 可知 -m = x1<x2<x3<x4 = m

于是 ｜AB｜= ｜x1-x2｜*√(1+1^2) = √2(x2+m)
｜CD｜= ｜x3-x4｜*√(1+1^2) = √2(m-x4)
于是 ｜｜AB｜-｜CD｜｜ = √2｜(x2+x4)｜
直线 y= x-1 代入椭圆方程

(m-1)x^2+m(x+1)^2-m(m-1)=0
因此 (2m-1)x^2+2xm-m^2+2m=0,所以 x2+x4 = -2m/(2m-1) 但 2<=m<=5
因此 ｜｜AB｜-｜CD｜｜ = √2｜(x2+x4)｜ = 2√2m/(2m-1) = √2[1+1/(2m-1)]是减函数

所以 m=2,MAX=4√2/3 ; m=5 MIN=10√2/9