Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S四边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：∵⊿ABC中，∠C=90度，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点
∴AB=10cm，DE//BC，DE=4cm
∴tan∠BAC=4/3,cos∠BAC=3/5, sin∠BAC=4/5
设在直角坐标系中，A(0,0),B(10,0),C(ACcos∠BAC,ACsin ∠BAC)=C(3.6,4.8)
D(1.8,2.4),E(5,0)
∵点P从点D出发，沿DE方向 向E运动，v=1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，v=2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动
设运动时间为t（0<=t<=4）
过D作DF⊥AB交AB于F
∴∠FDE=∠DAE=∠BAC
∴P(1.8+tsin∠BAC,2.4-tcos∠BAC)=P(1.8+4/5t,2.4-3/5t)
Q(10-2t,0)
当PQ垂直AB时，1.8+4/5t=10-2t==>t=41/14
∴当t=41/14秒时，PQ垂直AB
(2)解析：当点Q在B、E之间运动时
五边形PQBCD的面积=y=S(DEBC)-S(⊿PEQ)
S(DEBC)=(DE+BC)*CD/2=(4+8)*3/2=18
S(⊿PEQ)=1/2EQ*y(P)=1/2*(5-2t)*(2.4-3/5t)=0.6t^2-3.9t+6
∴Y与T之间的函数关系式为：
Y=-0.6t^2+3.9t+12（0<=t<=2.5）

(3)解析：∵PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S(⊿PEQ)：S(PQBCD)=1：29
∴29*(0.6t^2-3.9t+6)= -0.6t^2+3.9t+12
18t^2-117t+162=0==>t1=2,t2=162/36>2.5(舍)
∴t=2
当t=2时，P(3.4,1.2)，Q(6,0)
直线PQ斜率k=1.2/(3.4-6)=-6/13
方程：y=-6/13(x-6)==>6x+13y-36=0
∵E(5,0)
∴点E到了直线PQ的距离为
H=|6*5+13*0-36|/√(36+169)=6√205/205
∴此时t=2,点E到PQ的距离H=6√205/205

Answer 2

解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴AB=10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且DE=1/2BC=4
∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB
PEAB=
QEBC
由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即(4-t)/10=(2t-5)/8，
解得t=41/14．
（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ABC，得PMAC=
PEAB，
∴PM6=
4-t10，得PM=35（4-t）．
S△PQE=12EQ•PM=12（5-2t）•35（4-t）=35t2-3910t+6，
S梯形DCBE=12×（4+8）×3=18，
∴y=18-（35t2-3910t+6）=-
35t2+3910t+12．

（3）假设存在时刻t，使S△PQE：S四边形PQBCD=1：29，
则此时S△PQE=130S梯形DCBE，
∴35t2-3910t+6=130×18，
即2t2-13t+18=0，
解得t1=2，t2=92（舍去）．
当t=2时，
PM=35×（4-2）=65，ME=45×（4-2）=85，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=85+1=135，
∴PQ=PM2+MQ2=(
65)2+(
135)2=2055．
∵12PQ•h=35，
∴h=65•5205=6
205205（或6205）．