已知a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3

longandfat
2012-10-05 · TA获得超过1106个赞
知道小有建树答主
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证明:由柯西不等式:(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²
设a1=a,a2=b,a3=c,b1=b2=b3=1,则有
(a²+b²+c²)(1²+1²+1²)≥(a+b+c)²

3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
∵a+b+c=1,
∴3(a²+b²+c²)≥1
∴(a²+b²+c²)≥1/3
证毕
慕野清流
2012-10-05 · TA获得超过3.6万个赞
知道大有可为答主
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由a+b+c=1得到
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
a^+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ac>=1-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(a^2+c^2)
=1-2a^2-2b^2-2c^2
所以3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
追问
请问a^+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ac>=1-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(a^2+c^2) 
为什么是≥呢?这是一个公式吗?
为什么a²+b²=2a² b²+ c²=2b² a²+ c²=2c²呢
追答
2ab<=a^2+b^2
2bc<=b^2+c^2
2ac<=a^2+c^2
这就是完全平方公式
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户碧戎2S
2012-10-05
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aaa
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