Question

已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证: 1>a2+b2+c2 ≥ 1/3 ,

详细啊，在线等

Answer 1

因为a+b+c=1
所以(a+b+c)²=1
即a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1
所以2ab+2ac+2bc=1-(a²+b²+c²)>0
于是a²+b²+c²<1
而因为2(a²+b²+c²)-(2ab+2ac+2bc)
=(a²-2ab+b²)+(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)
=(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²
≥0 (当且仅当a=b=c=1/3时取等)
所以2(a²+b²+c²)≥2ab+2ac+2bc
即2(a²+b²+c²)≥1-(a²+b²+c²)
所以3(a²+b²+c²)≥1
于是a²+b²+c²≥1/3
所以1/3≤a²+b²+c²<1