Question

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)。⒈求f(1)的值.⒉若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(1...

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)。⒈求f(1)的值.⒉若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(1/x)<2.

Answer 1

以x=y=1代入f(x/y)=f(x)－f(y)中，得：
f(1)=f(1)－f(1)
得：f(1)=0

以x=36、y=6代入，得：
f(x/y)=f(x)－f(y)
f(36/6)=f(36)－f(6)
f(36)=2f(6)=2
则：
f(x＋5)－f(1/x)<2
f(x＋5)－f(1/x)<f(36)
f[x(x＋5)]<f(36)
则：
①x＋5>0，得：x>－5
②1/x>0，得：x>0
③x(x＋5)<36
x²＋5x－36<0
－9<x<4
综合①、②、③，得：0<x<4

Answer 2

令x=y代入f(x/y)=f(x)－f(y)中，得：
f(1)=f(x)－f(x)=0
得：f(1)=0

∵f(6)=1,
∴f(x+3)-f(1/x)<2等价于f(x+3)-f(1/x)-f(6)-f(6)<0
根据f(x/y)=f(x)-f(y)化简该式得
f[(x+3)x/36]<0
又∵f(1)=0 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
∴当0<x<1时 f(x)<0
所以0<(x+3)x/36<1
∵x>0
∴x+3>0 1/x>0 (x+3)x/36>0
∴只需要解(x+3)x/36<1
即解x^2+3x-36<0
用求根公式可解得x1,2=(-3±(根号153))/2
综上得 0<x<(-3+(根号153))/2

Answer 3

以x=y=1代入f(x/y)=f(x)－f(y)
有：f(1)=f(1)－f(1)
∴f(1)=0

以x=36, y=6代入f(x/y)=f(x)－f(y)
有：f(36/6)=f(36)－f(6)
f(6)=f(36)－f(6)

f(36)=2f(6)=2

∴f(x＋3)－f(1/x)<2
f(x＋3)－f(1/x)<f(36)
f[(x＋3)·x]<f(36)
∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数
∴①x＋3>0，得：x>－3
②1/x>0，得：x>0
③x(x＋3)<36
x²＋3x－36<0
(-3-3√17)/2<x<(-3+3√17)/2
综合①、②、③，得：0<x<(-3+3√17)/2