Question

已知x,y,z属于R，且x+y+z=1,x²+y²+z²=1/2,证明x,y,z属于[0,2/3}

Answer 1

先证x,y,z均为非负数。不妨设z= - |a|<0 x+y=1+|a| , x^2+y^2=1/2-|a|^2
--> x^2+y^2 - 2xy = - |a| ( 2+3 |a| ) >=0 这是不可能的！
从而知 x,y,z均非负数。
又从下式综合
x+y=1-z, x^2+y^2=1/2-z^2, x^2+y^>=2xy
得出 z(3z-2)<=0
根据z>=0 从而知 z 属于 [0,2/3]
同理有 x 属于 [0,2/3] 和 y 属于 [0,2/3]

Answer 2

证明：
由x+y=1-z,两边平方：(x+y)²=(1-z)²,即x²+2xy+y²=1-2z+z²
又x²+y²=1/2-z²
两式相减：
2xy=1/2-2z+2z²
而2xy<=x²+y²
所以：
1/2-2z+2z²<=1/2-z²
即：z(3z-2)<=0,
故：0<=z<=2/3
由x,y,z的对称性得知x,y,z∈[0,2/3]