Question

关于大学数学极限的问题，每道题都请给出原因，我知道怎么做，至于错在哪里就说不清，

第一题已经是典型了……但是说实话从高中开始我就没怎么在意原因……还有最后一题我做出来无穷大……不知道对不对……





Answer 1

指出下列运算的错误 并计算出正确的结果
四个解法都是错误的

1. 错误，
原因是无限项相加不能当作有限项相加，极限不能分开计算的
正确做法是 先通分
原式＝Lim [(1 + 2 + …… + n) / n²]
＝ Lim [n(n + 1) / (2n²)]
＝ Lim [n² / (2n²)] + Lim [1 / (2n²)]
＝1/2 + 0
＝1/2

2. 错误
原因是当x →0时，sin(1/x³) 是一个有界量，介于±1之间，但是注意其极限并不存在(你图片中最后一个等号是错的，虽然结果正确)
所以 x³ sin(1/x³) 就是 无穷小量 乘以 有界变量，(根据推论)整个结果的极限就是0

3. 错误
原因是当x →0时，sin(1/x³) 虽是一个有界量，介于±1之间，但是注意其极限并不存在
而分母 1/x³ →无穷大 ，所以 sin(1/x³) / (1/x³) 虽然符合典型极限 sinM / M 的形式，但并不符合等于1的条件（只有当形式中的M →0时才等于1），但如今1/x³ →无穷大，不是→0
至于正确方法 和第2题相同，即
所以 x³ sin(1/x³) 就是 无穷小量 乘以 有界变量，(根据推论 )整个结果的极限就是0

4. 错误
整个形式是 0 / 0 的形式，可以应用罗必达法则
原式＝Lim (tanx - sinx) / x ＝ Lim (sec²x - cosx) / 1 ＝ 0/1 ＝ 0
或者，根据tanx = sinx / cosx
所以，
原式＝Lim (tanx - sinx) / x
＝ Lim (sinx/cosx - sinx) / x
＝ Lim sinx( 1 - cosx) / （xcosx)
＝ Lim sinx / x * Lim(1 - cosx) / cosx
＝ 1 * 0/1
＝ 0

总结：其实高等数学要比初等数学容易学，初等数学方法很灵活，变化多，种类繁杂，而高等数学相对概念多，但方法死板，需要套用格式，套用不对就错了，甚至根本无法计算。
例如极限的计算中，两种重要极限（估计老师和书本都只是说重要，但为什么重要没有说），这就是现实，我们花费了整整1年时间学习高数，到头来还是跟没有学习一样，原因当然是很多的，但归根结底是理性学习，并没有建立感性认识，.......跑题了，不多说了

追问

厉害~多谢了~啊概念确实很多啊 好烦……
话说有个问题 最后一题分母是x^3啊~还有为什么tanx-sinx的极限是0？？
咳咳……罗必达是什么……我们那版书上木有这个……

追答

对不起，是我粗心了，最后一道题用级数展开最简单，但估计方法你不会，所以就用罗必塔法则来做吧
原式＝Lim (tanx - sinx) / x³
＝ Lim (sec²x - cosx) / (3x²)
＝ Lim (2secx* secx tanx + sinx) / (6x)
＝ Lim sinx(2sec²x / cosx + 1) / (6x)
＝ Lim sinx /x * Lim(2sec²x / cosx + 1) / 6
＝ 1 * 3 / 6
＝1/2

级数展开方法(也可以理解为等价无穷小替换)，利用下两式：
sinx = x - x³/6 + o(x³) 通常用 sinx = x - o(x)
cosx = 1 - x²/2 + o(x²)
原式＝Lim (tanx - sinx) / x³
＝ Lim sinx(1 - cosx) / (x³cosx)
＝ Lim sinx /x * Lim(1 - cosx) / x² * Lim 1/cosx
＝ 1 * Lim (x²/2 + o(x²)) / x² * 1
＝ 1 / 2

1. 为什么tanx-sinx的极限是0？？
-------------当x→0时，tanx 和 sinx都→0啊，而且sinx趋近的速度更快一些：
sinx ＜x＜tanx
2. 咳咳……罗必达是什么……我们那版书上木有这个……
这个是个很基础、很重要的求极限方法，网上我没办法详细解释啊

追问

厉害……最后一个问题……Lim (tanx - sinx) / x³ 是怎么变到Lim (sec²x - cosx) / (3x²)的？

追答

罗必塔法则------分子 分母 同时分别求导
(tanx - sinx) ’ ＝ sec²x - cosx
( x³ )’ ＝ 3x²

Answer 2

高等数学求极限的方法就那么几个，每个之间都有其内在的联系，想学好的话你可以尝试着从定义出发去推导出各种方放，当你熟悉了推导各种方法的过程你就能知道要应用每种方法的前提条件了

Answer 3

改错题...