Question

已知函数f(x)=x+2/x,试讨论函数在x∈(0,+∞)上的单调性，并证明

Answer 1

f(x)=x+2/x x∈(0,+∞)
∵D=(0,+∞)
∴f（x)=x+2/x≥2×根号（x×2/x)=2根号2
此时x=2/x
x=根号2
判断函数在(0,根号2】递减
（根号2，+∞)递增
证明：
任取a，b∈(0,根号2】 a＞b
f(a)-f(b)=a+2/a-b-2/b
=（a-b）-2（a-b）/ab
=（a-b）（1-2/ab)
∵a＞b
∴a-b＞0
又∵a，b∈(0,根号2】，a≠b
∴ab∈（0，2） 2/ab＞1
（1-2/ab)＜0
f(a)-f(b)＜0
函数在(0,根号2】递减
得证
同样可证明函数（根号2，+∞)递增
综上所述：
函数在(0,根号2】上递减
（根号2，+∞)上递增

Answer 2

直接用导数，若导数值大于0则递增，反之则递减

Answer 3

分类讨论，在1和2处值相等