Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=1/3AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

Answer 1

（1）证明：在△ABC和△CDA中
∠B=∠D∠BAC=∠DCAAC=AC
∴△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，′
由勾股定理得：AC=4，
即AB、CD间的最短距离是4，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
当P在BC上时，
①BE=BP=2，
t=2时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∵cos∠ABC=AB/BC=BM/BP=3/5，
∴BP=5/3，
t=5/3时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2，
作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
∴cosB=BN/BE=3/5，
∴BN/2=3/5，
BN=6/5，
∴BP=12/5，
∴t=12/5时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4，
当P在AD上时，只能BE=EP=2，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4x，AQ=3x，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1)^2+（4x)^2=22，
∴x=(2√21-3)/25，
AP=5x=(2√21-3)/5,
∴t=5+5+3-(2√21-3)/5=(68-2√21)/5，
答：从运动开始经过2s或5/3s或12/5s或(68-2√21)/5时，△BEP为等腰三角形．

Answer 2

第一个等腰三角形出现在P点运动2cm时，即BP=BE
时间2s

后面应该还有EB=EP、PB=PE
一共大概应该是4个结果
但是我还没想出来怎么求